Математику неможна вивчати дивлячись,
як це робить сусід! (А. Нивен)
Подколзіна Вікторія Олександрівна
Софізми
Софізм - це міркування, яке формально здається абсолютно бездоганним, але насправді містить помилку, в результаті чого кінцевий висновок є абсурдним.
З античних часів математику вважають наукою точною, що не терпить помилок, вимагає ясності понять та тверджень, нічого не сприймає без доведень, проголошує красу та велич логічних міркувань. За словами Ж.Фабра "математика - дивовижна вчителька в мистецтві спрямовувати думки, наводити порядок там, де вони не впорядковані, викорчовувати безглуздя, фільтрувати брудне і наводити ясність". Помилки в міркуваннях, найчастіше виникають через порушення законів формальної логіки, основи якої заклав визначний давньогрецький філософ Арістотель (праці "Категорії", "Про тулмачення", "Перша аналітика", "Друга аналітика", "Топіка"). Помилки, пов'язані з порушенням законів логіки та законів математики бувають двох типів: паралогізми і софізми. Паралогізми (з грецької - неправильне) - це хибне міркування, логічна помилка, допущена не навмисне, а через втрату послідовності в міркуваннях чи порушення одного з законів логіки. Паралогізми в математиці неприпустимі, бо де є місце помилці, там вже немає місця математиці. Зовсім інша ситуація з софізмами. Софізми (з грецької -хитрий викрутас, вигадка, хитрий умовивід) - це міркування навмисне побудовані так, що вони містять логічнупомилку і, звичайно, приводять до хибних висновків. Засновником школи софістів був давньогрецький філософ Протогор із Адбери (бл. 480 - бл.410 до р. х.). Введення софізмів сприяло вдосконавленню ораторського мистецтва, підвищенню логічної культури мислення. Щоправда, пізніше в деяких філософів-софістів мистецтво софістики перетворилося на суперечку заради суперечки. Різні приклади софізмів наводить у своїх діалогах Платон (427 -347 до р. х.). Евклід ( 1V ст. До р. х.)створив дивовижний збірник "Псевдарій",який на жаль не дійшов до нас. Це був перший збірник саме математичних софізмів та парадоксів. Вперше аналіз та класифікацію софізмів дав Арістотель у трактаті "Про софістичні спростування". На сьогодні софізми, і зокрема математичні, навчають мислити , доводити й спростовувати, чітко висловлювати свої думки; вони здивовують та захоплюють, дають поштовх для творчості, пошуку нового, відкриттів. Найчастіше софізми та паралогізми виникають, коли міркування порушують закони логіки: закон тотожності, закон суперечності, закон виключного третього, закон достатьньої підстави.
№1.
3 = 5
Маємо очевидну рівність 25 - 15 - 10 = 15 - 9 - 6, звідки 5 (5 - 3 - 2)=3 (5 - 3 - 2), або 5 = 3.
№2.
5 = 7
Нехай a = 3/2 b, або 4a = 6b. Тоді 4a = 14a - 10a, а 6b = 21b - 15b, звідки 14a - 10a = 21b - 15b, або 15b - 10a = 21b - 14a, або 5 (3b - 2a) = 7 (3b - 2a), або 5 = 7.
№3.
1 = 2
1 - 3 + (9/4) = 4 - 6 + 9/4, (1 - 3/2) (1 - 3/2) = (2 - 3/2) (2 - 3/2), (1 - 3/2)2 = (2 - 3/2)2, 1 - 3/2 = 2 - 3/2, 1 = 2.
№4.
Розширимо можливості скорочення дробів, наприклад, у такий спосіб:
16/64 = 1/4 ; 19/95 = 1/5 ;
1998/8991 = 198/891 = 18/81;
№5.
Нове правило дії над дробовими числами:
(9 - 25) / (6 + 10) = (9 / 6) - (25 / 10);
(121 - 64) / (55 + 40) = (121 / 55) - (64 / 40);
(80 - 50) / (2 + 5) = (8 / 2) - (50 / 5).
№6.
Просте і корисне правило спрощення:
(53 + 43) / (53 + 13) = (5 + 4) / (5 + 1) = 3 / 2;
(63 + 43) / (63 + 23) = (6 + 4) / (6 + 2) = 5 / 4.
№7.
Сума (різниця) двох чисел дорівнює їх добутку (частці):
55/4 = 5*5/4; (36/5) - 6 = (36/5) / 6.
№8.
Логарифм суми дорівнює сумі логарифмів:
lg (16 + 16/15) = lg (16) + lg (16/15);
lg (17 + 17/16) = lg (17) + lg (17/16).
Пояснення
№1, 2.
Софізм засновано на типовому випадку замаскованого виконання забороненої дії - ділення на нуль. Заборона ділення на нуль - одне з фундаментальних положень усієї математики. Варіації цього софізму існують і в алгебрі, і в геометрії, ів тригонометрії.
№3.
Неправомірне поширення істиності прямої теореми: "Якщо числа рівні, то і квадрати їх рівні" на обернену: "Якщо квадрати двох чисел рівні, то й ці числа рівні".
№4.
Справді існують окремі види дробів, у яких можна закреслювати в чисельнику та знаменнику "зайві" цифри, не змінюючи величини дробу. Скорочення цього типу
можливі лише для дробів такого виду:
amm...mb / bmm...ma = ab / ba, де a + b = m i a b. Існує тільки 16 дробів такого виду.
№5.
Рівність (a - b) / (c + d) = (a / c) - (b / d) еквівалентна таким (при c, d 0 i (c + d) 0):
(a - b) cd = (c + d) (ad - bc); acd - bcd = acd + ad2 - bc2 - bcd;
ad2 - bc2 = 0 і справджується тільки при виконанні цих умов.
№6.
Це корисне правило також не є загальним, і може бути застосовано тільки до числових виразів спеціального виду. Воно засноване на формулі
(a3 + b3) / (a3 + (a - b)3 = (a + b) / (a + (a - b).
№7.
Правило справджується для чисел виду
a + (a/a-1) = a*(a/a-1) i a2 / (a - 1) = (a2 / (a - 1)) : a , де а0.
№8.
lg (a + b) = lg a + lg b, звідси b1 i a =b / (b - 1).
І таких завдань дуже багато... і не тільки з арифметики )